Alle Teigzutaten zu einem glatten Teig verarbeiten und weitere 10-12 Minuten mit der Hand durchkneten, bis er geschmeidig ist. Den Teig zu einer Kugel formen, mit Öl bepinseln und eine Schüssel darüber stülpen. Bei Zimmertemperatur mindestens 30 Minuten ruhen lassen.

Inzwischen die Füllung zubereiten: Vom Kohl die äusseren Blätter entfernen, den Kopf vierteln und den Strunk herausschneiden. Den Weisskohl möglichst fein schneiden. Die Zwiebeln abziehen und würfeln. Den Speck in feine Würfel schneiden.

Schweineschmalz in einem grossen Schmortopf zerlassen. Zwiebeln und Speck darin glasig dünsten. Die Kohlstreifen zugeben, salzen und bei mittlerer Hitze 10-12 Minuten garen. Dabei gelegentlich umrühren.

Brühe zugiessen und offen weitere 10-12 Minuten unter gelegentlichem Wenden dünsten. Essig, Kümmel, Pfeffer und Zucker zugeben, ausdampfen und erkalten lassen.

Ein grosses Geschirrtuch mit Mehl bestäuben und die Teigkugel darauf zu einem Rechteck von ca. 35x45 cm ausrollen. Beide Hände mit dem Handrücken nach oben unter den Teig schieben und ihn vorsichtig auf eine Grösse von ca. 50x70 cm ausziehen.

Die Füllung auf den Teig verteilen, ringsum einen Rand von etwa 2 cm frei lassen. Das Geschirrtuch leicht anheben und den Teig von der Längsseite her locker zusammenrollen. Die Teigenden zusammendrücken und unter den Strudel schieben.

Mit der Naht nach unten auf ein Blech mit Backpapier legen. Eigelb mit Milch verquirlen und den Strudel damit bestreichen. Die Oberfläche mehrfach mit einer Gabel einstechen.

Den Strudel im vorgeheizten Backofen bei 200 °C auf der zweiten Einschubleiste von unten 35-40 Minuten backen.